WordPress 2.7からはウェブサイト上の管理画面からボタン一発で自動的にアップデートできるということなのですが、このサイトをホストしているサーバーを含め、多くのレンタルサーバーではPHPがセーフモードで動作しているため、この自動アップデート機能を使うためには少し工夫が必要になります。
調べてみるとPHPをCGIとして動かせばこの問題は起こらないということらしいのでwp-admin/.htaccessを作成し、そこに
AddHandler application/x-httpd-phpcgi .php
と書いて、自動アップデートを実行したところ、問題なく処理が終わりました。
追伸：ついでにテーマも変更、このテーマはきちんと日本語に対応しているようです。